polytechnique

> MOOC "Aléatoire : une Introduction aux Probabilités" > Convergence de la fonction de répartition empirique

Convergence de la fonction de répartition empirique

Cette simulation illustre la convergence de la fonction de répartition empirique dans le cas de variables aléatoires gaussiennes de moyenne $3$ et de variance $2$.

Plus précisément, on a des variables aléatoires $X_k\sim \mathcal{N}(0,1)$ indépendantes et pour chaque $x\in\mathbb{R}$, on définit

$$ F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \mathbb{1}_{\{X_k\leq x\}}. $$

Le théorème de Glivenko-Cantelli affirme que

$$ \sup_{x\in\mathbb{R}} | F_n(x)-F(x)| \xrightarrow[]{n\to\infty} 0\quad \mathrm{presque \, sûrement} $$

où $F$ est la fonction de répartition commune des $X_k$ : $F(x)=P(X_k\leq x)$.