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Bifurcations à un paramètre dans des systèmes 1D

Rajouté le mercredi 27 mai 2015
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

Les systèmes dynamiques, tels que les équations différentielles, dépendent en général d’un ou plusieurs paramètres. En faisant varier ces paramètres, il est possible qu’à un moment donné le comportement des solutions change drastiquement : on parle de bifurcation.

Nous montrons ici les bifurcations les plus simples pour une équation différentielle en dimension un et qui ne possède qu’un seul paramètre, c.-à-d. une équation de la forme

$$ \dot{x}=f_\mu(x), \; x\in\mathbb{R}, $$

où $\mu\in\mathbb{R}$ est le paramètre. Nous allons voir qu’on peut causer un changement du nombre de points fixes et de leur stabilité. (On rappelle qu’un point fixe est un point $x$ tel que $\dot{x}=0$, c.-à-d. tel que $f(x)=0$.)

Bifurcation nœud-col.

$$ \dot{x}=x(1-x)-\mu. $$




Quand $\mu\in\ ]0,1/4[$, on constate qu’il y a deux points fixes, l’un qui est stable. l’autre qui est instable. Quand $\mu=1/4$, ces deux points fixes fusionnent en un point fixe « semi-stable ». Dès que $\mu$ devient strictement positif, il n’y a plus de point fixe du tout.

Bifurcation transcritique.

$$ \dot{x}=\mu x -x^2. $$




L’origine $x=0$ est toujours un point fixe, quelle que soit la valeur de $\mu$.
On observe que quand $\mu<0$, l’origine est instable tandis qu’il y a un autre point fixe $x=\mu$ qui est stable. Rien ne change jusqu’à ce que $\mu=0$ : les deux points fixes fusionnent. Puis, dès que $\mu$ devient strictement positif, il apparaît un point fixe $x=\mu$ qui est stable tandis que l’origine est devenu un point fixe instable. On dit que les point fixes $x=0$ et $x=\mu$ ont échangé leur stabilité.

Bifurcation fourche super-critique.

$$ \dot{x}=\mu x -x^3. $$




L’origine est toujours un point fixe. Quand $\mu<0$, c’est l’unique point fixe et il est stable. Lorsque $\mu=0$, rien ne change à part que la convergence des solutions vers $0$ devient beaucoup plus lente. Dès que $\mu>0$, deux points fixes supplémentaires apparaissent : $x=-\sqrt{\mu}$ et $x=\sqrt{\mu}$. Ils sont stables alors que l’origine est devenu instable.

Bifurcation fourche sous-critique.

$$ \dot{x}=\mu x +x^3. $$




Dans le cas précédent, le terme cubique a un effet stabilisant. Ici il a l’effet contraire. Quand $\mu<0$, les points fixes $x=\pm \sqrt{\mu}$ sont instables et l’origine est stable. Quand $\mu>0$, il n’y a plus que $x=0$ comme point fixe qui devient instable. En fait, toute solution de condition initiale $x_0\neq 0$ explose en temps fini (c.-à-d. tend vers $\pm \infty$ quand $t$ tend vers un certain $t^*$ qui dépend de $x_0$ et $\mu$).