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Calcul de $\pi$ avec des aiguilles et un parquet

L’aiguille de Buffon

Rajouté le jeudi 26 septembre 2013
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

En 1733, Buffon se pose la question suivante : si on jette au hasard une aiguille sur un parquet, quelle est la probabilité $P$ qu’elle chevauche une rainure séparant deux lattes adjacentes ? Si $a$ est la longueur d’une aiguille et $\ell$ la largeur d’une latte, on trouve $P=2a/\pi \ell$. (On suppose que $a\leq \ell$.)
En 1812, Laplace propose de calculer expérimentalement $\pi$ en invoquant la loi des grands nombres : le nombre d’aiguilles $k$ qui chevauchent une rainure divisé par le nombre total $n$ d’aiguilles lancées tend vers $P$ lorsque le nombre de lancés tend vers l’infini. Il propose donc l’estimateur $2na/\ell k$ en remplaçant $P$ par $k/n$ dans la formule de Buffon.
Cet exemple est l’ancêtre de la méthode de Monte Carlo, à savoir estimer une quantité déterministe en utilisant des tirages aléatoires. L’expérience de Buffon-Laplace a été réalisée avec de vraies aiguilles. Ici nous la faisons avec une expérience numérique interactive.

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