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Champ de vecteurs et solutions associées

Rajouté le vendredi 3 octobre 2014
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

Plusieurs modèles présentés sur ce site sont des équations différentielles. Par exemple. le modèle proie-prédateur de Loka-Volterra s’écrit

$$ \begin{cases} \dot{x}= x(1-y)\\ \dot{y} = y(-\lambda+x). \end{cases} $$

On ne sait pas résoudre en général de telles équations, c.-à-d. qu’on ne sait pas écrire $x(t)$ et $y(t)$ sous la forme de combinaisons de fonctions élémentaires du genre $t \cos(t)$ ou $e^{-t}$. Mais on peut étudier de telles équations qualitativement et interpréter les solutions des équations différentielles géométriquement, comme nous allons l’illustrer.
Prenons le second membre des équations ci-dessus : on le voit comme un « champ de vecteurs » dans le sens qu’à chaque point $(x,y)$ on associe le vecteur

$$ \vec{v}(x,y)= \begin{pmatrix} x(1-x)\\ y(-\lambda+x) \end{pmatrix}. $$

Trouver une solution des équations qui passe par un point donné $(x_0,y_0)$ a l’instant $t=0$ équivaut à chercher une courbe, appelée « trajectoire », qui passe par le point $(x_0,y_0)$ et dont la tangente en chaque point $(x,y)$ est le vecteur $\vec{v}(x,y)$.
De façon imagée on peut voir le champ de vecteurs comme indiquant en chaque point la direction et la vitesse d’un fluide imaginaire qui s’écoule dans le plan. Si, à l’instant $t=0$, on lâche au point $(x_0,y_0)$ un petit « bouchon », il va tout simplement suivre une trajectoire bien déterminée : celle que lui impose le courant. Cette trajectoire est exactement l’ensemble des points parcourus par la solution $(x(t),y(t))$ telle que $x(0)=x_0$ et $y(0)=y_0$.
L’expérience numérique ci-dessous illustre ce que nous venons de décrire. On pourra cliquer sur un point sans le « lâcher » pour visualiser le début de la trajectoire de la solution qui démarre de ce point. Une fois qu’on le lâche, il va décrire sa trajectoire.

Le point de vue que nous venons d’esquisser est donc de ne pas s’intéresser à une solution particulière mais de visualiser toutes les solutions en même temps en faisant le portrait d’état ou le portrait de phase des équations.
D’autres exemples d’équations différentielles dans le plan que vous pouvez expérimenter sur ce site sont le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra avec compétitions entre les proies, un modèle de compétition entre deux populations, ou bien encore un modèle proie-prédateur qui possède un cycle limite.
L’interprétation géométrique des solutions d’une équation différentielle ne se limite pas à la dimension deux : elle est valable en toute dimension. On peut expérimenter sur ce site deux modèles en dimension trois : le modèle de Lorenz et un modèle où deux populations de proies sont en compétition et subissent la prédation d’une troisième population.
Le théorème sous-jacent garantissant qu’un point va bien suivre une trajectoire parfaitement déterminée et que deux trajectoires ne vont jamais se couper est un théorème d’Analyse : c’est lethéorème de Cauchy-Lipschitz.