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Chaos hamiltonien : l’application standard

Rajouté le vendredi 10 juillet 2015
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

Il s’agit d’un modèle remarquable qui a permis de mieux comprendre le chaos hamiltonien. Il est défini par une application qui envoie le tore $\mathbb{T}^2$ dans lui-même. On peut représenter ce tore comme un carré de côté $2\pi$ dont on identifie les côtés opposés. Étant donné un point initial $(\theta_0,I_0)$, on calcule son orbite, c-à-d les points $(\theta_1,I_1), (\theta_2,I_2)$,... par récurrence en utilisant l’application

$$ \begin{cases} \theta_{n+1} =\theta_n + I_{n+1}\;(\text{mod}\, 2\pi)\\ I_{n+1} =I_n + K \sin\theta_n\;(\text{mod}\, 2\pi) \end{cases} $$

où $K\geq 0$ est un paramètre.

Dans l’expérience numérique interactive ci-dessous, on peut observer le portrait de phase selon les valeurs de $K$, et y faire des zooms en cliquant directement dans le portrait de phase. (On visualise les orbites d’un milliers de points initiaux.)

On remarque qu’on peut calculer exactement $\theta_n$ et $I_n$ pour tout $n$ dans le cas où $K=0$ (on dit que le système est intégrable). En effet, on obtient facilement que $I_n=I_0$ et $\theta_n=\theta_0+ n I_0$. Donc, l’orbite d’un point $(\theta_0,I_0)$ est confinée dans un cercle qui correspond à un segment horizontal dans notre représentation. Deux cas sont possibles :

  • soit $I_0=p/q$ où $p,q$ sont des entiers ($q\neq 0$), ce qui donne une orbite périodique de période $q$ : après $q$ itérations, on revient au point de départ. Il y a en particulier des points fixes ;
  • soit $I_0$ n’est pas un nombre rationnel, auquel cas l’orbite est quasi-périodique : elle finit par passer aussi près que l’on veut de tout point du cercle où elle est confinée (on dit qu’elle est dense dans le cercle en question). Le portrait de phase ressemble à un « mille-feuille » qui se déforme dès qu’on commence à faire varier $K$ depuis la valeur $0$. Il apparaît très vite des ellipses concentriques autour d’un point fixe ($K=0,01$). Au fur et à mesure qu’on augmente $K$, le portrait de phase devient de plus en plus complexe avec des régions où apparaissent d’autres groupes d’ellipses concentriques, et d’autres qui ressemblent à une « poussière » uniforme de points. Mais un zoom dans l’une de ces régions en apparence uniforme révèle en fait un mélange de groupes d’ellipses et de poussière. Et ainsi de suite !

L’application standard est aussi appelée application de Chirikov ou application de Taylor-Chirikov. On la qualifie de « standard » car elle décrit le comportement générique d’une application à deux dimension préservant les aires et dont le portrait de phase est un mélange de dynamique elliptique (les courbes fermées concentriques sur chacune desquelles on a une rotation déformée) et chaotique (zones « poussiéreuses »). On obtient cette application en approximant ce qu’il se passe dans une section de Poincaré de nombreux systèmes hamiltoniens.

On peut consulter cette page pour plus de détails.