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Équation aux Dérivées Partielles Stochastique 2D

Rajouté le mercredi 19 novembre 2014
Marc Monticelli , Nils Berglund

Une équation aux dérivées partielles stochastique, ou EDPS, décrit l’évolution dans l’espace et dans le temps d’un champ soumis à un terme aléatoire. Dans le cas de l’équation d’Allen—Cahn, ce champ peut représenter la densité d’atomes de deux types différents dans un alliage, ou encore l’aimantation d’un matériau magnétique.

L’équation d’Allen—Cahn en dimension $2$ pour le champ $u(t,x,y)$ s’écrit $\dot u = k \Delta u + u - u^3 + b \xi$.
Le terme $k \Delta u$ (Laplacien par rapport aux variables spatiales $x$ et $y$) décrit le couplage entre atomes voisins, et tend à aplatir le profil $u$. Le terme $u - u^3$ représente la tendance de l’alliage vers l’un des états stables $+1$ ou $-1$. Enfin le terme $\xi$, appelé bruit blanc espace-temps, est un terme aléatoire décrivant l’agitation thermique.

Cette équation montre le phénomène de séparation de phase (« coarsening ») : les régions de phase $+1$ et $-1$ tendent à s’épaissir au cours du temps. Ce phénomène est plus marqué plus $k$ et grand, et s’accélère lorsque l’intensité du bruit augmente.

Pour plus de détails, lire l’article de Nils Berglund sur Image des maths.


Voir en ligne : Équation aux_Dérivées Partielles_Stochastique 2D