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Équations différentielles linéaires dans le plan

Rajouté le mardi 2 septembre 2014
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

Une équation différentielle linéaire dans le plan est une équation de la forme

$$ \begin{cases} \dot{x} = a_{11} x + a_{12}y\\ \dot{y} = a_{21} x + a_{22}y \end{cases} $$

où $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$ sont des paramètres réels. On note $\dot{x}=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$, la dérivée de la fonction $x(t)$ par rapport au temps $t$ (idem pour $\dot{y}$).

On peut réécrire cette équation sous une forme matricielle :

$$ \begin{pmatrix}\dot{x}\\ \dot{y} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}= A\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} $$

$$ A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$

est une matrice $2\times 2$.

Le but de l’expérimentation numérique interactive suivante est de visualiser comment se comportent qualitativement les solutions de ce type d’équations lorsqu’on modifie les coefficients de la matrice $A$. En particulier, il y a un seul équilibre, à savoir l’origine $(0,0)$ (si on part exactement du point $(0,0)$, on y reste pour toujours). Il se trouve que le comportement des solutions dépend du type de valeurs propres de la matrice $A$ qui sont les solutions de l’équation du second degré

$$ \lambda^2-(\mathrm{tr}(A))\lambda+\mathrm{det}(A)=0 $$

où $\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}$ est la trace de $A$ et $\mathrm{det}(A)=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$ est le déterminant de $A$.

L’expérience numérique ci-dessous permet de visualiser le portrait d’état, c-à-d les orbites des solutions dans le plan $(x,y)$ (première vue), les valeurs propres $\lambda_1$, $\lambda_2$ (seconde vue) et le plan $(\mathrm{tr}(A),\mathrm{det}(A))$ (troisième vue). En particulier, on pourra constater que l’origine est parfois attractive, parfois répulsive.

Mode d’emploi. On peut choisir des valeurs pour les coefficients $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$ (fixées initialement toutes à $0$), puis générer les solutions en cliquant ou en touchant un point du plan $x,y)$. Modifier ces valeurs influe sur les valeurs propres et la valeur de $(\mathrm{tr}(A),\mathrm{det}(A))$. Mais on peut aussi déplacer les valeurs propres dans la seconde vue et voir dans la première l’impact sur le type de solutions. On peut enfin choisir un point dans le plan $(\mathrm{tr}(A),\mathrm{det}(A))$ (troisième vue) et voir ce qui en résulte pour les valeurs propres et le type de solutions. La parabole dans la troisième vue a pour équation $(\mathrm{tr}(A))^2-4\mathrm{det}(A))=0$, cf. éventuellement les détails ci-après.

On prêtera une attention particulière à ce qui se arrive aux solutions lorsque, par ex., les valeurs propres sont complexes et qu’on les fait « traverser » l’axe imaginaire. Ou bien, lorsque qu’on déplace le point dans le plan $(\mathrm{tr}(A),\mathrm{det}(A))$ et qu’on le fait traverser la parabole, puis l’axe horizontal ($\mathrm{det}(A)=0$). On constatera qu’on assiste à des « bifurcations », c-à-d des changements de types de comportements des solutions. En particulier, l’origine peut d’attractive devenir répulsive ou vice-versa.


Pour en savoir plus. Cette expérience numérique interactive illustre la classification des solutions des équations différentielles linéaires dans le plan qui possède une théorie complète. Il y a trois grandes situations pour les valeurs propres :
1. quand elles sont réelles et distinctes ;
2. quand elles sont complexes (donc distinctes car nécessairement complexes conjuguées) ;
3. quand elles sont confondues (nécessairement réelles).
Si on note $\Delta=(\mathrm{tr}(A))^2-4\mathrm{det}(A))$ le discriminant de l’équation ci-dessus, les trois situations précédentes correspondent respectivement à $\Delta>0$, $\Delta<0$ et $\Delta=0$.
Tous les types d’orbites qu’on aura pu observer avec l’expérience numérique ci-dessus peuvent être résumés avec la figure suivante :


Pour aller plus loin. Tous les modèles intéressants en physique ou en écologie sont intrinsèquement non linéaires. En écologie par exemple, une équation différentielle dans le plan modélise l’interaction de deux populations. Il y a plusieurs exemples sur ce site :
- le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra ;
- sa variante avec compétition entre les proies ;
- le modèle proie-prédateur de Rosenzweig-McArthur ;
- un modèle de compétition.
Ces modèles ne sont pas de la forme

$$ \begin{pmatrix}\dot{x}\\ \dot{y} \end{pmatrix}= A\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} $$

où $A$ est une matrice $2\times 2$.
À quoi servent donc les équations différentielles linéaires ? Elles servent à déterminer, dans certains cas, le comportement des solutions au voisinage des équilibres. « Dans certains cas » signifie : quand les valeurs propres de $A$ ont une partie réelle non nulle.
Le théorème qui formalise cela est le théorème de Grobman-Hartman.

Sans rentrer dans les détails, donnons l’idée de base. Une équation différentielle dans le plan s’écrit en général sous la forme

$$ \begin{cases} \dot{x} = f(x,y)\\ \dot{y} = g(x,y) \end{cases} $$

où $f,g$ sont des fonctions différentiables. Par exemple, pour le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra avec compétition entre les proies on a $f(x,y)=x(1-x-y)$, $g(x,y)=\beta y(x-\alpha)$. Outre $(0,0)$, on a aussi le point $(\alpha,1-\alpha)$ comme équilibre.
Pour étudier ce qui se passe au voisinage de ces équilibres, l’idée est linéariser le modèle.
Pour un équilibre qu’on note $(x^*,y^*)$ on fait un développement de Taylor de $f$ et $g$ au voisinage de $(x^*,y^*)$ et on ne conserve que la partie linéaire (la partie constante est nulle puisque par définition $(x^*,y^*)$ est tel que $f(x^*,y^*)=0$, $g(x^*,y^*)=0$). Cette partie linéaire donne une matrice $A$ dont les coefficients sont les dérivées partielles de $f$ et $g$ en $(x^*,y^*)$ :

$$ A=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(x^*,y^*) & \frac{\partial f}{\partial y}(x^*,y^*)\\ \frac{\partial g}{\partial x}(x^*,y^*) & \frac{\partial g}{\partial y}(x^*,y^*)\end{pmatrix}. $$

Autrement dit, en posant $u=x-x^*$, $v=y-y^*$ et en négligeant les termes d’ordre plus grand que deux dans le développement de Taylor, on se ramène à l’équation différentielle linéaire

$$ \begin{pmatrix}\dot{u}\\ \dot{v} \end{pmatrix}= A\begin{pmatrix}u\\ v \end{pmatrix}. $$

Ce qu’on peut déduire de l’équation linéarisée pour l’équation de départ est, comme mentionné plus haut, l’objet du théorème fondamental de Grobman-Hartman. Il formalise le fait que si, par exemple, l’origine est pour l’équation linéarisée un foyer attractif (cf. shéma ci-dessus), alors l’équilibre $(x^*,y^*)$ correspondant dans l’équation de départ sera également un foyer attractif.