Expérimentation Numérique Interactive et grains logiciels 3.0

Accueil > Expériences en ligne > Systèmes dynamiques > Itérations de l’application logistique

Itérations de l’application logistique

Transition vers le chaos

Rajouté le mardi 15 octobre 2013
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

L’application logistique est l’application $x\mapsto rx(1-x)$ qui envoie l’intervalle $[0,1]$ dans lui-même pourvu que le paramètre $r$ varie dans l’intervalle $]0,4]$ : si $x\in[0,1]$, $rx(1-x)\in[0,1]$. On peut donc construire, en partant d’une valeur $x_0\in [0,1]$, une suite de nombres $(x_n)$ dans $[0,1]$ par récurrence :

$$ x_0\in[0,1], \; x_{n+1}=r x_n(1-x_n). $$

C’est un exemple de système dynamique à temps discret, chaque pas de temps correspondant à une itération de l’application logistique.
Ce système dynamique a été introduit en 1976 par Robert May dans un article intitulé``Simple mathematical models with very complicated dynamics’’. May l’a proposé pour modéliser la dynamique d’une population, par exemple d’insectes, un pas de temps correspondant alors à une année. Il faut interpréter $x_n$ comme la densité d’insectes l’année $n$.
Le point central sur lequel il attire l’attention est que, malgré l’apparence innocente de ce modèle, son comportement est extraordinairement riche et complexe lorsque le paramètre $r$ varie. C’est ce que nous vous proposons de vérifier avec l’expérience numérique interactive suivante.
En cliquant au dessus de l’axe des abscisses, vous sélectionnez $x_0$ et lancez la récurrence écrite ci-dessus. Vous pouvez changer $x_0$ en reclouant. En dessous se trouve affiché $x_n$ en fonction de $n$, c-à-d l’« orbite » de $x_0$ (les points sont reliés entre eux pour plus de clarté).
Ce qu’on peut observer est l’apparition du « chaos » par « cascade de doublements de période ».

Voici une description très partielle de ce que vous pourrez observer.
Si $0< r\leq 1$, $(x_n)$ tend vers $0$. Si $r$ est plus grand que $1$ mais reste plus petit que $3$, $(x_n)$ tend vers $\frac{r-1}{r}$ (point fixe de l’application logistique, c-à-d le point $x$ tel que $x=rx(1-x)$ qui se trouve à l’intersection de son graphe et de la droite d’équation $y=x$).
Quand $r$ est plus grand que $3$ mais reste inférieur à environ $3,57$, la suite de nombres oscille entre un certain nombres de points. Ces nombres sont des puissances de $2$. On parle d’oscillations périodiques, ce qui signifie que la population oscille de façon périodique.
Lorsque $r$ atteint $3,57$, la suite semble évoluer de manière erratique ou chaotique, plus du tout périodique ! C’est la cas pour presque toutes les valeurs comprises entre ce nombre et $4$. Il y a des « fenêtres » de périodicité : par exemple, pour $r=3,83$, la suite redevient périodique.
Comme vous pourrez le constater, ces propriétés ne dépendent pas de la condition initiale $x_0$ si on la prend dans l’intervalle $\left]0,1\right[$ (les valeurs $0$ et $1$ sont toujours des points fixes).
On peut condenser toutes ces informations dans un « diagramme de bifurcation ».

Code HTML pour intégrer cette simulation dans vos pages :

<iframe style="overflow: hidden;" src="http://experiences.math.cnrs.fr/simulations/sd-Parabola" height="600" width="100%" frameborder="0" scrolling="no"></iframe>