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Loi des grands nombres et théorème limite central

Rajouté le jeudi 4 juillet 2013
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

On tire des variables aléatoires $X_1,X_2,\ldots$ indépendantes et de même loi. On calcule la somme $S_n$ des $n$ premières ($S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$).
On considère deux exemples dans l’expérience ci-dessous :
ou bien chaque $X_k$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p\in[0,1]$, c.à-d. $\mathbb{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbb{P}(X_k=0)=1-p$ ;
ou bien chaque $X_k$ suit une loi exponentielle de paramètre 1 : $\mathbb{P}(X_k\leq x)=1-e^{-x}$.
La loi des grands nombres nous dit qu’avec probabilité un, $S_n/n$ converge vers la moyenne $m$ de $X_k$ qui vaut $p$ dans le cas de la loi de Bernoulli et 1 dans le cas de la loi exponentielle.
Dans la partie supérieure de l’expérience numérique interactive ci-dessous, on peut calculer $S_n/n$ en fonction du nombre $n$ de tirages et du nombre de réalisations. (Dans le cas de la loi de Bernoulli, on peut également faire varier le paramètre $p$.)
On peut étudier la répartition des fluctuations de $S_n/n$ autour de $m$ : si on « zoome » par un facteur $\sqrt{n}$ la variable aléatoire $S_n/n-m$, le théorème de la limite centrale implique que la fonction de répartition de $\sqrt{n}(S_n/n -m)$ converge vers celle de la loi normale centrée de variance $\mathbb{E}(X_k^2)-\mathbb{E}(X_k)^2$. Elle vaut $p(1-p)$ dans le cas de la loi de Bernoulli et 1 dans le cas de la loi exponentielle.
Dans la partie inférieure de l’expérience numérique ci-dessous, on peut calculer $(S_n-nm)/\sqrt{n}$ en fonction du nombre de tirages et du nombre de réalisations. On visualise l’histogramme de $(S_n-nm)/\sqrt{n}$ qui approxime celui d’une loi normale lorsqu’il y a suffisamment de tirages et de réalisations.


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