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Modèle de Lorenz

Rajouté le mardi 11 juin 2013
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

(Expériences numérique en beta)

Au début des années 1960, Edward Lorenz étudie les phénomènes de convection dans l’atmosphère terrestre.
Il obtient un modèle d’équations différentielles couplées après avoir drastiquement simplifié les équations fournies par la physique :

$$ \begin{cases} \dot{x} = \sigma (y-x)\\ \dot{y}=\rho x-y -xz\\ \dot{z}=xy-\beta z \end{cases} $$

où $\sigma,\rho$ et $\beta$ sont des paramètres réels strictement positifs. Les valeurs « historiques » sont $\sigma=10$, $\beta=8/3$ et $\rho=28$. Pour en savoir plus, vous pouvez lire cet article en ligne.

Lorenz résout numériquement les équations et découvre le chaos déterministe : pour certaines valeurs des paramètres, on observe une très forte instabilité des solutions qui sont confinées dans une région bornée de l’espace des phases. Il en résulte un attracteur extrêmement complexe qui est de dimension de Hausdorff comprise entre 2 et 3 (fractale).
Il publie en 1963 ses résultats dans un journal de météorologie, ce qui explique le temps qu’ont mis les mathématiciens pour découvrir cet article qui a bouleversé la vision des systèmes dynamiques.
On pourra voir un autre exemple d’attracteur du même genre pour ce modèle décrivant deux populations de proies sur lesquelles s’exercent la prédation d’une troisième population.

Dans l’expérience numérique interactive suivante, on utilise la condition initiale $x(0)=1,y(0)=1,z(0)=1$ et on projette dans le plan $(Oxy)$. On pourra manipuler ici en 3D l’attracteur qui apparaît.

L’expérience numérique ci-dessous illustre la sensibilité aux conditions initiales. On prend deux conditions initiales proches sur l’attracteur. Pendant un certain temps, les deux trajectoires correspondantes sont proches mais elles se séparent nettement, l’une restant dans le même « lobe » tandis que l’autre change de « lobe ». Puis les deux trajectoires vont se trouver à nouveau dans le même lobe.Et ainsi de suite.
Le phénomène remarquable est qu’on ne peut pas prédire quand une trajectoires va passer d’un lobe à l’autre : il n’y a pas de périodicité, les mouvements ont l’air erratique alors que le système est déterministe : c’est ce qu’on appelle le chaos déterministe. On visualise aussi $x(t)$.




Pour intégrer cs simulations dans vos propres pages web :

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