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Pendule avec fil souple

Rajouté le dimanche 25 janvier 2015
Cédric Villani , Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

Contrairement au pendule simple, le pendule considéré ici est une masse accrochée à fil souple au lieu d’une tige (rigide). Le nouveau phénomène est le décrochage de la masse lorsqu’elle n’exerce plus de tension sur le fil : il y a une phase de chute libre.
Dans l’expérience numérique interactive ci-dessous, une zone rouge est indiquée dans le plan de phase $(\theta,\dot{\theta})$ : dans cette zone, le pendule n’obéit plus à l’équation du pendule simple.



Nous donnons un peu plus de détails sur la zone rouge. Les équations gouvernant le mouvement du pendule sont

$$ \begin{cases} mL\ddot{\theta}=-mg\sin\theta\\ -mL\dot{\theta}^2= mg\cos\theta-T \end{cases} $$

où $T$ est l’intensité de la force de tension qui s’exerce le long du fil. On a donc

$$ T=mL\dot{\theta}^2+mg\cos\theta. $$

Physiquement, $T\geq 0$, ce qui impose une contrainte sur $\theta$ et $\dot{\theta}$ : la zone rouge dans laquelle $T\leq 0$ est déterminée par l’inéquation $\dot{\theta}^2+\frac{g}{L}\cos\theta\leq 0$ qui délimite les deux régions rouges symétriques.