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Pendule double

Rajouté le mercredi 21 janvier 2015
Cédric Villani , Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

Le double pendule est obtenu à partir du pendule simple en lui accrochant un second pendule simple. La seconde tige peut pivoter librement autour de la masse du premier pendule.
Pour décrire l’état de ce système, on utilise l’angle $\theta_1$ que fait la tige du pendule supérieur (de longueur $L_1$) par rapport à la verticale, la vitesse angulaire $\dot{\theta}_1$, l’angle $\theta_2$ que fait la tige du pendule inférieur (de longueur $L_2$) par rapport à la verticale et la vitesse angulaire $\dot{\theta}_2$.
Par rapport au pendule simple, la dynamique du pendule double est étonnamment plus compliquée puisqu’il apparaît deux nouveaux phénomènes : la quasi-périodicité et le chaos déterministe. L’expérience numérique interactive ci-dessous permet de le constater.



En posant $u_i=\theta_i$, $v_i=\dot{\theta}_i$, $i=1,2$, les équations du double pendule s’écrivent

$$ \begin{cases} \dot{u}_1=v_1\\ \dot{v}_1= \frac{-g(2m_1+m_2)\sin(u_1)-m_2 g\sin(u_1-2u_2)-2m_2\sin(u_1-u_2)[L_2 v_2^2 + L_1v_1^2\cos(u_1-u_2)]}{L_1(2m_1+m_2-m_2\cos(2u_1-2u_2))}\\ \dot{u}_2=v_2\\ \dot{v}_2= \frac{2\sin(u_1-u_2)[L_1 (m_1+m_2) v_1^2+g(m_1+m_2) \cos(u_1)+L_2 m_2 v_2^2\cos(u_1-u_2)]} {L_2(2m_1+m_2-m_2\cos(2u_1-2u_2))} \end{cases} $$