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Pendule simple

Rajouté le jeudi 9 janvier 2014
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

Le modèle le plus simple de pendule pesant est le suivant : on a une masse $m$ au bout d’une tige de longueur $L$ de masse nulle dont l’autre extrémité peut pivoter librement. La masse est soumise à la pesanteur et elle subit aussi la force de friction dûe à l’air. On suppose que le pendule oscille dans un plan vertical.

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Physiquement, cela signifie qu’on prend une masse beaucoup plus grande que celle de la tige.
On suppose l’intensité de la force de friction proportionnelle à la vitesse du pendule.
Cela revient à modéliser la situation où la masse est beaucoup plus dense que le fluide environnant.
On écarte la masse de sa position d’équilibre d’un angle $\theta$ : le pendule se met à osciller. On s’attend à ce qu’en l’absence de frottement, le pendule oscille indéfiniment.
Mais si le frottement est présent, les oscillations devraient s’amortir d’autant plus vite que le frottement est intense.

Dans l’expérience numérique qui suit, on peut faire varier l’amortissement (en particulier le rendre nul) et visualiser le « portrait de phase » du modèle, c.-à-d. la vitesse angulaire (notée $\dot{\theta}$) en fonction de l’angle $\theta$.
On peut écarter la masse avec la souris (ou le doigt sur tablette), la lâcher (avec une vitesse nulle) et voir le mouvement.
On peut également cliquer dans le portrait de phase, ce qui revient à sélectionner un point $(\theta,\dot{\theta})$, c.-à-d. un angle initial et une vitesse angulaire initiale.




Voici plus de détails pour le lecteur intéressé.Dans un premier temps, laissons de côté le frottement de l’air. En écrivant que $m$ fois l’accélération est égal à la force de pesanteur, on arrive à l’équation différentielle satisfaite par $\theta(t)$ :

$$ \ddot{\theta}+\frac{g}{L} \sin\theta=0. $$

Cette équation non linéaire n’est pas soluble analytiquement, c.-à-d. qu’on ne peut pas écrire $\theta(t)$ comme un combinaison de fonctions élémentaires de $t$. Il y a néanmoins un cas particulier important : le régime des « petites oscillations ». Dans ce cas, on suppose que $\theta$ est très petit et on tronque l’équation en approximant $\sin \theta$ par $\theta$ (l’erreur est d’ordre $\theta^3$). On obtient l’équation linéaire

$$ \ddot{\theta}+\frac{g}{L} \theta=0. $$

Les solutions sont de la forme $\theta(t)=\theta(0) \cos\left(\sqrt{\frac{L}{g}} t\right)$ : elles sont périodiques de période $2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
Prenons maintenant en compte la force de friction dûe à l’air et dont on suppose l’intensité proportionnelle à la vitesse du pendule. On arrive à l’équation

$$ \ddot{\theta}+k \,\dot{\theta}+\frac{g}{L} \sin\theta=0 $$

où $k$ est le coefficient d’amortissement. Dans l’approximation des petites oscillations, on obtient à nouveau une équation linéaire soluble dont nous ne décrirons pas ici les solutions qui dépendent de l’intensité de l’amortissement.

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