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Promenades aléatoires dans le plan

Rajouté le mercredi 9 avril 2014
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli


Une particule part d’un point du plan $\mathbb{Z}^2$ (qu’on peut aussi décrire comme l’ensemble des points à coordonnées entières dans le plan $\mathbb{R}^2$ ou comme l’ensemble des intersections d’un quadrillage de ce plan). Un point de $\mathbb{Z}^2$ est représenté par un couple $(x,y)$ où $x\in\mathbb{Z}$, $y\in\mathbb{Z}$.

La particule effectue une promenade aléatoire en faisant un saut à chaque pas de temps de la manière suivante : si la particule est à l’instant $t$ au point de coordonnées $(x,y)$, elle peut aller à l’un des quatre points de coordonnées $(x\pm 1,y)$, $(x,y\pm 1)$ à l’instant $t+1$. Ces quatre points ont la même probabilité d’être atteints, c-à-d $1/4$. Et ainsi de suite.

Dans l’expérience numérique qui suit, on peut changer le nombre total de sauts et voir trois réalisations possibles de la promenade. (Pour plus de clarté, on joint les points visités entre eux par un segment.) On peut cliquer à n’importe quel moment pour choisir un nouveau point de départ pour la promenade.



Une question qu’on peut se poser est la suivante. Partant d’un point quelconque, quelle est la probabilité qu’il existe un temps fini au bout duquel la particule repasse par ce point ? En termes plus intuitifs mais moins précis, imaginons qu’on fasse démarrer un très grand nombre de promenades d’un point donné et qu’on les fasse durer très longtemps. On se demande quelle est la proportion de particules qui sont repassées par le point de départ.
On imagine aisément des promenades qui font repasser des particules après quelques sauts. L’expérience numérique suggère que les particules restent plutôt confinée autour du point de départ, ce qui est cohérent avec le fait que les promenades sont isotropes et ne privilégient donc pas statistiquement de direction particulière.
On peut démontrer mathématiquement que la probabilité qu’il existe un temps fini au bout duquel la particule repasse par son point de départ vaut un. Ce n’est plus vrai si on fait faire aux particules des promenades en dimension trois, c-à-d sur le réseau cubique $\mathbb{Z}^3$ ! C’est le théorème de Pólya : la particule repasse par son point de départ avec une probabilité strictement inférieure à un (elle vaut environ $0,34$).

Pour intégrer cette simulation dans vos propres pages web :

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