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Un cycle limite

Rajouté le mardi 24 septembre 2013
Jean-René Chazottes , Marc Monticelli

Le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra avec compétition entre proies ou le modèle simple de compétition entre deux populations ont leur comportement à long terme gouverné par les équilibres, c-à-d les points $(x,y)$ où le champ de vecteurs est nul. Les équilibres attirent ou repoussent les solutions avec des conditions initiales prises dans leur voisinage.
Nous allons voir ici que des solutions périodiques, qui correspondent à des trajectoires fermées (ou « cycles ») peuvent attirer ou repousser les solutions : on parle de « cycles limites ».
Voici le modèle le plus simple où cela arrive. Jouez avec l’expérience numérique interactive ci-dessous, notamment avec le paramètre $\mu$ :


Pour en savoir plus. Ce qu’on observe avec l’expérience précédente est que, pour $\mu<0$, l’origine est un équilibre attractif. Quand $\mu>0$, il devient répulsif et il apparaît un cercle, qui correspond à une trajectoire particulière, et qui semble attirer toutes les solutions qui partent de conditions initiales différentes de $(0,0)$. Le rayon de ce cercle croît avec $\mu$. C’est un cycle limite.
Si vous passez en coordonnées polaires, le modèle devient plus simple :

$$ \begin{cases} \dot{r}= r(\mu-r^2)\\ \dot{\theta} = 1. \end{cases} $$

Les variables $r$ et $\theta$ sont découplées. L’équation $\dot{\theta}=1$ nous dit que les solutions tournent à vitesse constante dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. L’autre équation nous dit comment la distance à l’origine évolue au cours du temps.
Si $\mu<0$, $\dot{r}=0$ ne s’annule que si $r=0$ : les solutions spiralent vers l’origine car $\dot{r}<0$ (le rayon décroît au cours du temps).
Si $\mu>0$, $\dot{r}=0$ pour $r=0$ mais aussi pour $r=\sqrt{\mu}$ qui n’est rien d’autre que l’équation d’un cercle de rayon $\sqrt{\mu}$. Si on démarre en dehors du cercle, les solutions s’enroulent sur lui ($\dot{r}<0$), tandis que si on démarre à l’intérieur, les solutions fuient l’origine en spiralant vers le cercle ($\dot{r}>0$).

Bifurcation de Hopf. La transition entre les deux régimes que nous venons de décrire quand le paramètre $\mu$ varie s’appelle une bifurcation de Hopf. Le modèle proie-prédateur de Rosenzweig-MacArthur est un autre exemple où une telle bifurcation a lieu. Il y en a bien d’autres (modèle de Hodgkin-Huxley, oscillateur de van der Pol, etc).
Il existe des cycles limites répulsifs et même des cycles limites « mixtes » (attractifs d’un côté et répulsifs de l’autre, ou vice-versa).
Les cycles limites sont des objets intrinsèquement non-linéaires (ils ne peuvent pas exister dans des modèles linéaires). Ils montrent qu’un système dynamique peut avoir des oscillations périodiques sans forçage extérieur.
Terminons en mentionnant que le modèle de cycle limite ci-dessous n’est en fait pas un cas particulier. En un sens mathématique précis, tout cycle limite attractif dans le plan a cette forme par un changement local de coordonnées (il s’agit d’équivalence topologique).

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