Version stochastique du modèle logistique

On considère le modèle logistique déterministe

$$ \dot{x}= x\left(\gamma-cx\right) $$

où $\dot{x}$ signifie la dérivée de $x$ par rapport au temps $t$. Si on se donne $x(0)=x_0\geq 0$, la solution $x(t)$ au temps $t$ peut représenter la densité d’une population.
On a deux paramètres. Le paramètre $\gamma=\lambda-\mu$, avec $\lambda,\mu>0$ qu’on va définir plus bas, et on suppose que $\lambda>\mu$. Le paramètre $c>0$ mesure l’intensité de la compétition intraspécifique : la croissance de $x(t)$ qui serait exponentielle si $c$ valait $0$ est contrecarrée par le terme $-cx^2$, d’autant plus fortement que $c$ est grand. Il y a deux points fixes : $x=0$, qui est instable (répulsif), et $x_*=\gamma$, qui est stable (attractif). Si $x(0)>0$, $x(t)$ va tendre vers $x_*$ quand $t\to+\infty$.

Parallèlement, on introduit une version stochastique du modèle logisitique déterministe sous la forme d’un processus (de Markov) de naissance et mort $N(t)$ défini par les taux de saut suivants où $i$ est un entier $>0$ :

• $i\leadsto i+1$ avec un taux $\lambda i$
• $i\leadsto i-1$ avec un taux $\mu i+ci^2$.

On se donne un nombre d’individus $N_0$ au temps $t=0$.
Si au temps $t$ on a $i$ individus ($i>0$) alors soit l’horloge qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda i$ sonne la première et on passe à $i+1$ individus, soit c’est l’horloge suivant une loi exponentielle de paramètre $\mu i$ qui sonne la première et on passe à $i-1$ individus. Et ainsi de suite.
On constate que si $i=0$, on reste dans cet état, ce qui modélise l’extinction dont on peut démontrer qu’elle a lieu avec probabilité un. Elle est donc certaine mais le temps d’extinction est aléatoire.

Comment relier ces deux modèles ? L’idée est « renormaliser » les sauts avec un paramètre d’échelle $K>0$ pour qu’ils soient de plus en plus petits quand $K$ augmente, autrement dit on renormalise $N(t)$ par $K$, ce qui fait que $N(t)/K$ est une densité. On va donc avoir des trajectoires du processus qui vont tendre vers une trajectoire continue, sans sauts, quand $K\gg 1$. A cause du terme non-linéaire $ci^2$ modélisant la compétition, on se rend compte qu’il faut aussi renormaliser $c$ par $K$. Autrement dit, on a maintenant :

• $\frac{i}{K}\leadsto \frac{i+1}{K}$ avec un taux $\lambda i=\lambda K \frac{i}{K}$
• $\frac{i}{K}\leadsto \frac{i-1}{K}$ avec un taux $\mu i+\frac{c i^2}{K}= K \frac{i}{K}\big(\mu+\frac{c}{K}i\big)$.

Enfin, n’oublions pas que résoudre l’équation différentielle du modèle logisitique déterministe nécessite qu’on se donne une condition initiale $x_0$ et qu’il faut la relier à $N_0$. Ici on prend tout simplement $x_0=\frac{N_0}{K}$. Dans l’expérience numérique interactive suivante, on peut observer ce qui se passe. On a pris $c=1$ puisqu’il ne joue par de rôle. On a fixé $x_0=0,5$.

On observe ce à quoi on s’attend intuitivement : quand $K$ est petit, disons égal à $10$, le processus fluctue beaucoup autour de la solution du modèle déterministe et on observe facilement son extinction qui a lieu souvent dans la fenêtre de temps qu’on a fixée. Quand $K$ devient grand, c’est l’inverse.

Pour terminer, précisions que ces observations peuvent être transformées en énoncés mathématiques. On renvoie à cet article pour plus de détails.