Modèle de compétition cyclique entre trois populations

May et Leonard ont étudié un modèle mettant en jeu trois populations qui sont en compétition de telle sorte que, cycliquement, l’une des trois populations semble dominer pendant une longue période de temps les deux autres avant que cela soit soudainement au tour de l’une des deux autres, et ainsi de suite. Qui plus est, la période durant laquelle l’une des populations semble dominer devient de plus en plus à chaque cycle. Voici les équations gouvernant l’évolution de la densité des trois populations :

$$ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_1(1-x_1-\alpha x_2 -\beta x_3)\\ \dot{x}_2 = x_2(1-\beta x_1- x_2 -\alpha x_3)\\ \dot{x}_3 = x_3(1-\alpha x_1-\beta x_2 - x_3) \end{cases} $$

où $0<\beta <1$ et $\alpha+\beta\geq 2$. Lorsque $\alpha+\beta=2$, on peut observer un cycle limite qui va être détruit dès qu’on dépasse la valeur $2$.
Le phénomène remarquable est que les solutions convergent rapidement vers une surface triangulaire légèrement incurvée et qu’on appelle le « simplexe de charge ». Les sommets de ce « triangle » sont en fait les trois points fixes non triviaux, à savoir $\bar{x}_1=1,\bar{x}_2=0,\bar{x}_3=0$, $\bar{x}_1=0,\bar{x}_2=1,\bar{x}_3=0$ et $\bar{x}_1=0,\bar{x}_2=0,\bar{x}_3=1$. Le premier correspond à la domination complète de la population no. 1, le second à celle de la population no. 2, et le troisième à celle de la population no. 3.

Le « triangle » qu’on observe est un exemple de « cycle hétérocline ». C’est un phénomène générique pour des équations différentielles qui possèdent certaines symétries. Ici, nous avons une symétrie par permutation circulaire.